lunes, 26 de marzo de 2012
19@21/03/2012
Estuvimos realizando ejercicios en la libreta para asi poder practicar y poder aprender mas... es verdad que son muchos pero yo entiendo que la practica hace la perfeccion.
13 marzo 2012
Tema: Funcion Cuadratica
Forma general: f(x)= ax^2 + bx + c
V: (-b/2a , f(-b/2a) )
eje de sim: x=-b/2a
Int en y: (x=0)
Int en x: (g=0)
Forma estandar: f(x)= a(x + h)^2 + k
V: (h,k)
eje de sim: x=h
Int en y: (x=0)
Int en x: (y=0)
Forma general: f(x)= ax^2 + bx + c
V: (-b/2a , f(-b/2a) )
eje de sim: x=-b/2a
Int en y: (x=0)
Int en x: (g=0)
Forma estandar: f(x)= a(x + h)^2 + k
V: (h,k)
eje de sim: x=h
Int en y: (x=0)
Int en x: (y=0)
9/03/2012
Tema: Funcion cuadratica
-forma estandar-
f(x)= a(x+h)^2-k
**vertice: (-3/4, 57/8)
**eje de simetria: (x=-3/4)
**concavidad: a<0
**intersecto en y(x=0)=(0,6)
**intersecto en x(y=0)=(-2.64, 0), (1.14, 0)
8 marzo 2012
A.V(-b/2a , f (-b/2a) )
B. Concavidad a>o conca va hacia arriba
C. Eje de simetria x=4
D. Intercepto en Y (x=0)
E. Intercepto en x (y=0)
B. Concavidad a>o conca va hacia arriba
C. Eje de simetria x=4
D. Intercepto en Y (x=0)
E. Intercepto en x (y=0)
martes, 13 de marzo de 2012
28 febrero 2012
Tema: Funcion Cuadratica
~Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser ecrita de la forma f(x)=a (x-h)^2 + k (a no es igual a 0)
~La grafica de una funcion cuadratica tiene forma de U que se conoce como una parabola.
Vertice de una parabola
~ Si una parabola abre hacia arriba, tiene un punto minimo.
~Si una parabola abre hacia abajo, tiene un punto maximo.
~ Este punto mas bajo o mas alto es el vertice de la parabola.
~ La forma del vertice de una funcion cuadratica es f(x)=a (x-h)^2 + k
~ El vertice de la parabola es (h,k)
a > 1 concava hacia arriba
a < 1 concava hacia abajo
~Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser ecrita de la forma f(x)=a (x-h)^2 + k (a no es igual a 0)
~La grafica de una funcion cuadratica tiene forma de U que se conoce como una parabola.
Vertice de una parabola
~ Si una parabola abre hacia arriba, tiene un punto minimo.
~Si una parabola abre hacia abajo, tiene un punto maximo.
~ Este punto mas bajo o mas alto es el vertice de la parabola.
~ La forma del vertice de una funcion cuadratica es f(x)=a (x-h)^2 + k
~ El vertice de la parabola es (h,k)
a > 1 concava hacia arriba
a < 1 concava hacia abajo
27/02/2012
Tema: Funciones Inversas
Sea f una funcion uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su funcion inversa f-1 tiene dominio B y rango A y esta definida por:
f-1(y)= x <=> f(x)= y
paso1: intercambio f(x) por y
paso2: intercambia la x con la y
paso3: despejar para y
paso4: intercambie y por f-1(x)
Sea f una funcion uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su funcion inversa f-1 tiene dominio B y rango A y esta definida por:
f-1(y)= x <=> f(x)= y
paso1: intercambio f(x) por y
paso2: intercambia la x con la y
paso3: despejar para y
paso4: intercambie y por f-1(x)
13/02/2012
Tema : Operaciones con funciones
*Suma: f(x) + g(x) = (f+g) (x)
*Resta: f(x) - g(x) = (f-g) (x) o g(x)- f(x) = (g-f) (x)
*Multiplicación: f(x).g(x) = (fg) (x)
*División: f(x)/g(x) = (f/g) (x) ; g(x) no es igual que 0 o g(x)/f(x) =(g/f) (x) ; f(x) no es igual que 0
*Suma: f(x) + g(x) = (f+g) (x)
*Resta: f(x) - g(x) = (f-g) (x) o g(x)- f(x) = (g-f) (x)
*Multiplicación: f(x).g(x) = (fg) (x)
*División: f(x)/g(x) = (f/g) (x) ; g(x) no es igual que 0 o g(x)/f(x) =(g/f) (x) ; f(x) no es igual que 0
23/01/2012
Tema: Trazado de grafica
A) Desplazamiento vertical (y= f(x) + c)
Si c > 0, la gráfica se mueve c unidades hacia arriba.
Si c < 0, la gráfica se mueve C unidades hacia abajo.
B) Desplazamiento horizontal (y= f (x + k)
Si k > 0, la gráfica se mueve k unidades hacia la izquierda.
Si k < 0, ;la gráfica se mueve k unidades hacia la derecha.
C) Reflejo
1)eje de X es y=f(x)
2)eje de Y es (y= f (-x)
D) Estiramiento y acortamiento vertical y= cf(x)
* Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y= f(x) por un factor de c.
* Si 0 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y= f(x) por un factor de c.
A) Desplazamiento vertical (y= f(x) + c)
Si c > 0, la gráfica se mueve c unidades hacia arriba.
Si c < 0, la gráfica se mueve C unidades hacia abajo.
B) Desplazamiento horizontal (y= f (x + k)
Si k > 0, la gráfica se mueve k unidades hacia la izquierda.
Si k < 0, ;la gráfica se mueve k unidades hacia la derecha.
C) Reflejo
1)eje de X es y=f(x)
2)eje de Y es (y= f (-x)
D) Estiramiento y acortamiento vertical y= cf(x)
* Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y= f(x) por un factor de c.
* Si 0 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y= f(x) por un factor de c.
17 enero 2012
Tema: Dominio de una funcion
* El dominio de una funcion es el conjunto de todos los posibles valores de "x" que la funcion acepta.
* A menudo el dominio de una funcion no aparece especificado; la funcion aparece indicada por una ecuacion en dos variables.
* Es decir, el dominio de la funcion "f" es el conjunto mayor de numero reales, tales que el valor resultante f (x) es numero real (conjunto de valores de "x").
Restricciones para sacar el dominio de una funcion:
* No puede tener numeros negativos dentro de un radical.
* No puede haber cero en el denominador de una fraccion.
Rango de una funcion
- El rango, alcance, campo de valores en el conjunto de todos los resultados "y" que surgen al evaluar la funcion en los elementos del dominio (conjunto de valores de "y").
* El dominio de una funcion es el conjunto de todos los posibles valores de "x" que la funcion acepta.
* A menudo el dominio de una funcion no aparece especificado; la funcion aparece indicada por una ecuacion en dos variables.
* Es decir, el dominio de la funcion "f" es el conjunto mayor de numero reales, tales que el valor resultante f (x) es numero real (conjunto de valores de "x").
Restricciones para sacar el dominio de una funcion:
* No puede tener numeros negativos dentro de un radical.
* No puede haber cero en el denominador de una fraccion.
Rango de una funcion
- El rango, alcance, campo de valores en el conjunto de todos los resultados "y" que surgen al evaluar la funcion en los elementos del dominio (conjunto de valores de "y").
11/02/2012
Definición de relación:
* Una relación es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.
* Si "x" y "y" son dos elementos de los conjuntos "x" y "y", decimos que "x" corresponde a "Y" o "y" depende que "x".
* también podemos escribir x-->y
*También podemos indicar la relación como un conjunto de pares ordenados ( x & y).
Definición de una función:
* Sean "X" y "Y" dos conjuntos no vacíos. Una función de "X" a "Y" es una relación en la cual a cada elemento del conjunto "X" el corresponde un único elemento de "Y".
Definición alterna de una función:
* Una función es un conjunto de pares ordenados "x" y "y" en el cual no existen dos pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente.
* Una relación es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.
* Si "x" y "y" son dos elementos de los conjuntos "x" y "y", decimos que "x" corresponde a "Y" o "y" depende que "x".
* también podemos escribir x-->y
*También podemos indicar la relación como un conjunto de pares ordenados ( x & y).
Definición de una función:
* Sean "X" y "Y" dos conjuntos no vacíos. Una función de "X" a "Y" es una relación en la cual a cada elemento del conjunto "X" el corresponde un único elemento de "Y".
Definición alterna de una función:
* Una función es un conjunto de pares ordenados "x" y "y" en el cual no existen dos pares ordenados con el mismo primer elemento y segundo elemento diferente.
13 enero 2012
Tema: Graficas de funciones basicas
1. funcion de identidad- es aquella grafica que pasa una linea por el mismo centro.
2.funcion lineal-la linea no pasa por el centro de la grafica.
3.funcion cuadratica-que es en forma de "U".
4.funcion cubica-si es positiva va de abajo hacia arriba y si es negativa va de arriba hacia abajo.
5.funcion valor absoluto-si es positiva va hacia arriba, si es negativa va hacia abajo siempre en forma de "V".
6.funcion raiz cuadrada- f(x)=x(1/2)
7.funcion racional-una linea es positiva y la otra negativa. "X" no puede ser cero.
8.funcion constante-(b)= numero real (cualquier numero)
9.funcion raiz cubica- f(x)= x(1/3)
1. funcion de identidad- es aquella grafica que pasa una linea por el mismo centro.
2.funcion lineal-la linea no pasa por el centro de la grafica.
3.funcion cuadratica-que es en forma de "U".
4.funcion cubica-si es positiva va de abajo hacia arriba y si es negativa va de arriba hacia abajo.
5.funcion valor absoluto-si es positiva va hacia arriba, si es negativa va hacia abajo siempre en forma de "V".
6.funcion raiz cuadrada- f(x)=x(1/2)
7.funcion racional-una linea es positiva y la otra negativa. "X" no puede ser cero.
8.funcion constante-(b)= numero real (cualquier numero)
9.funcion raiz cubica- f(x)= x(1/3)
jueves, 12 de enero de 2012
12 de enero de 2012 (continuacion del 11/enero)
observaciones:
-Las funciones se denotan por letras tales como: f, F,g,G.
-la funcion que a cada numero real le asigna su cuadrado, puede representarse como: f(x)= x2, g(s)= s2
-Las funciones se denotan por letras tales como: f, F,g,G.
-la funcion que a cada numero real le asigna su cuadrado, puede representarse como: f(x)= x2, g(s)= s2
-Es importante señalar que puede utilizar cualquier letra para nombrar la variable independiente.
-La expresion anterior se lee como: "f de x" o "f en x". No significa f multiplicado por x. Significa el valor de y que la funcion f le asigna la x. f(x)= y
-A la variable x se le llama la vriable independiente (tambien se le llama el argumento de la funcion) y la variable y se le llama la variable dependiente
X Y= 2 x + 3 Y
-2 y= 2(-2)+3 -1 (-2, -1)
-1 y= 2(-1)+3 1 (-1, 1)
0 y= 2(0)+3 3 (0, 3)
1 y= 2(1)+3 5 (1, 5)
2 y= 2(2)+3 7 (2, 7)
martes, 6 de diciembre de 2011
15 de nov de 2011
Tema: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PERMUTACIONES
Una permutación es una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto. Se simboliza: Psub n = n!
Se lee permutaciones de n elementos tomados de n en n es igual n factorial.
Ejemplo:
Con los números 1, 2, 3, 4. Cuantos números diferentes de 4 cifras se pueden construir?
P₄ = 4! = 4*3*2*1= 24
Se pueden construir 24 números diferentes.
PERMUTACIONES CON REPETICION
Corresponden a permutaciones en las que uno o varios elementos del grupo están repetidos.
P(n, r) = n!/(n-r)!
Ejemplo:
Cuantos números de 3 dígitos que no se repiten pueden escribirse con los dígitos del conjunto { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
n = 6
r = 3
P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 720/6 = 120
COMBINACIONES
- Combinaciones son variaciones en las que no se tiene en cuenta el orden de colocaciones de los elementos .
- Es decir que en el ejemplo anterior el elemento 23 es igual al elemento 32 y solo se cuenta una vez .
n
C = n !
r (n-r)!r!
42
C = 42 ! = 1.41x10⁵
6 (42-6)16! (3.72x10⁵)(720)
n=42
r=6
= 1.41x10⁵1
2.65 x 10⁴⁴
=5,241,635
1.) Con las letras A,B,C,D; cuantas combinaciones se pueden hacer si se toman las cuatro letras.
2.) Los resultados son A,B,C,D, = DBCA = CBAD
3.) En total solo una ya que no se tiene en cuenta el orden para diferenciarlas es decir que es la mismo ABCD que CBAD.
28 de noviembre de 2011
Tema: Teoremas de Binomios
Ej:
(a+b)² = (a+b) (a+b)
= a² + ab + ba + b²
a² + 2ab + b²
(a+b)³ = [(a+b) (a+b)] (a+b)
= (a² + 2ab + b²) (a+b)
= a³ + a²b+ 2a²b + b²a + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a+b)⁴= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
I.) (x+2)³
= x³ + 3x²(2) +3(x)(2²) + 2³
= x³ + 6x² +12x + 8
II.) (2x+3) (2x+3) [(2x+3)]
4x² + 6x + 6x + 9 + [(2x + 3)]
= 2x³ + 3(2x)² (3) +3(2x) (3²) + (3)³
= 8x³ + 36x² + 54x + 27
Ej:
(a+b)² = (a+b) (a+b)
= a² + ab + ba + b²
a² + 2ab + b²
(a+b)³ = [(a+b) (a+b)] (a+b)
= (a² + 2ab + b²) (a+b)
= a³ + a²b+ 2a²b + b²a + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a+b)⁴= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
I.) (x+2)³
= x³ + 3x²(2) +3(x)(2²) + 2³
= x³ + 6x² +12x + 8
II.) (2x+3) (2x+3) [(2x+3)]
4x² + 6x + 6x + 9 + [(2x + 3)]
= 2x³ + 3(2x)² (3) +3(2x) (3²) + (3)³
= 8x³ + 36x² + 54x + 27
miércoles, 30 de noviembre de 2011
9 de noviembre de 2011
Sucesos independientes y dependientes
Sucesos independientes- si el hecho de que ocurra uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Sucesos dependientes- si el hecho de que uno ocurra afecta la probabilidad de que el otro ocurra.
Probabilidad de los sucesos independientes
Si A y B son sucesos independientes entonces P(A y B)= P(A) . P(B)
Ej. Un experimento consiste en elegir al alzar una canica de una bolsa, deviolverla y elegir otra canica. En la bolsa hay 7 canicas azules y 3 canicas amarillas Cual es la probabilidad de sacar una canica amarilla primero y una azul despues?
P(amarillas,azul)=P (amarilla) . P(azul)
=3/10 . 7/10
=21/100 = 21%
Sucesos independientes- si el hecho de que ocurra uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Sucesos dependientes- si el hecho de que uno ocurra afecta la probabilidad de que el otro ocurra.
Probabilidad de los sucesos independientes
Si A y B son sucesos independientes entonces P(A y B)= P(A) . P(B)
Ej. Un experimento consiste en elegir al alzar una canica de una bolsa, deviolverla y elegir otra canica. En la bolsa hay 7 canicas azules y 3 canicas amarillas Cual es la probabilidad de sacar una canica amarilla primero y una azul despues?
P(amarillas,azul)=P (amarilla) . P(azul)
=3/10 . 7/10
=21/100 = 21%
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